Akademik Veri Yönetim Sistemi
Tezin Türü: Doktora
Tezin Yürütüldüğü Kurum: Bursa Uludağ Üniversitesi, FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ, FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ, Türkiye
Tezin Onay Tarihi: 2009
Tezin Dili: Türkçe
Öğrenci: Betül Gezer
Danışman: Osman Bizim
Özet:Bu çalışmanın amacı “singüler eğriler” ve “eliptik bölünebilir diziler” gibi matematiğin iki önemli kavramını sonlu cisimler üzerinde çalışmak ve bu kavramlar arasındaki ilişkiyi ortaya koymaktır. Çalışmanın birinci ana kısmında eliptik eğriler teorisi ele alınmış ve teorinin önemli özellikleri verilmiştir. Karakteristiği 2 ve 3 ten farklı olan bir F cismi üzerinde tanımlı E : y 2 = x 3 + Ax + B eşitliğini gerçekleyen sıralı ikililerin kümesi eliptik eğri olarak adlandırılır. Eğer x 3 + Ax + B = 0 kübik denkleminin katlı kökleri bulunması halinde bu noktaların kümesine singüler eğri adı verilir. Çalışmanın amaçlarından birisi de bu tip eğrilerin özelliklerini sonlu cisimler üzerinde ortaya koymaktır. Çalışmanın üçüncü bölümünde, p > 3 bir asal sayı olmak üzere, Fp sonlu cismi üzerinde singüler eğriler ele alınmış bu eğrilerin üzerindeki nokta sayıları, ikinci ve üçüncü dereceden kalanlar yardımıyla belirlenmiştir. Daha sonra bu eğrilerin üzerindeki (x, y) noktalarının karakterleri, bu noktaların apsis ve ordinatları toplamı ile ilgili sonuçlar verilmiştir. Bu eğriler üzerindeki noktaların grup yapısı ve büküm noktaları belirlendikten sonra bu eğrilerin üzerindeki nokta sayıları ile ilgili işlemler Fp sonlu cisminden Fp n ye genelleştirilmiştir. Çalışmanın ikinci ana kısmında bir eliptik eğrinin bölüm polinomu kavramından ortaya çıkan eliptik bölünebilir diziler ele alınmıştır. Eliptik bölünebilir diziler ilk olarak 1948’de Morgan Ward’ ın “Memoir on elliptic divisibility sequences” adlı makalesinde ele alınmıştır. Çalışmanın beşinci bölümünde, Morgan Ward’ın yapmış olduğu çalışmalar geliştirilmiştir. İlk olarak sonlu cisimler üzerinde eliptik bölünebilir dizi kavramı tanımlandıktan sonra, belli ranklara sahip olan eliptik bölünebilir dizilerin genel terimleri ve periyotları belirlenmiştir. Daha sonra bu dizilerle eşleşen eliptik eğriler ve singüler eğriler belirlenmiştir, singüler eğrilerin ne zaman ortaya çıktığı ile ilgili sonuçlar verilmiştir.