Akademik Veri Yönetim Sistemi
15. Ankara Matematik Günleri, Ankara, Türkiye, 23 - 24 Mayıs 2024, ss.1
$d$ ve $\delta$ sabit pozitif tam sayılar, $x,y,n$ ve $s$ negatif olmayan tam sayı bilinmeyenler iken
x^2+d^s=\delta y^n
formundaki üstel Diophant denklemi genelleştirilmiş Lebesgue-Ramanujan-Nagell denklemi olarak adlandırılır. Bu denklem hakkındaki literatür bilgisi için [5]'e bakılabilir.
$p$ asal iken, $Q}(\sqrt{-p})$ imajiner kuadratik cisminin sınıf sayısı $h=h(-p)$ ile gösterilsin. $h=1$ iken $p \in \{3,7,11,19,43,67,163\}$ tür. 2020'de Chakraborty ve ark. tarafından, $h=1$ iken
x^2+p^s=4y^n
Diophant denkleminin tüm çözümleri verilmiştir, [2].
Bu çalışmada \eqref{eq.1} denklemi $d=p$ ve $\delta=2^r$ ($r\ge 3$) iken göz önüne alınarak [2]'deki sonuçlar genişletilmiştir. Daha kesin olarak ifade edilecek olursa $(x,y)=1$, $x\ge 1$, $y\ge 1$, $h\in \{1,2,3\}$, $s\geq0$, $r\ge 3$, $n\geq3$ ve $(x,y,s,r,n)$ tam sayı bilinmeyenler iken
x^2+p^s=2^ry^n
Diophant denklemi çalışıldı, [6]. Ana sonuçların ispatlarında Frey-Hellegoaurch eliptik eğrileri ile ilişkili Galois temsillerinin modülerliğini baz alan Bennett-Skinner metodu [1], simplektik metot [3], cebirsel sayılar teorisinin elementer metotları ve Gherga ve Siksek tarafından MAGMA paket programıyla geliştirilen Thue-Mahler çözücü [4] kullanıldı. Bu çalışma Bursa Uludağ Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri FGA-2023-1545 nolu proje ile desteklenmiştir.
[1] Bennett, M. A., Skinner, C., Ternary Diophantine equations via Galois representations and modular forms, {\it Canad.~J.~Math.} {\bf 56} (2004) 23--54.
[2] Chakraborty K., Hoque A., Sharma R., Complete Solutions of Certain Lebesgue-Ramanujan-Nagell Type equations, Publ. Math. Debrecen, 97:339--352, 2020.
[3] Freitas, N., Kraus, A., On the symplectic type of isomorphism of the p-torsion of elliptic curves, {\it Mem. Amer. Math. Soc.} {\bf 277} (2022) 1--104.
[4] Gherga A., Siksek, S., Efficient resolution of Thue-Mahler equations, 2022, {\it arXiv preprint} {arXiv:2207.14492}.
[5] Le M. H., Soydan G., A brief survey on the generalized Lebesgue-Ramanujan-Nagell equation, Surv. Math. Appl., 15:473--523, 2020.
[6] Mutlu E. K., Soydan G., On the solutions of some Lebesgue-Ramanujan-Nagell type equations, International Journal of Number Theory, (2024), basımda, doi.org/10.1142/S1793042124500593.