Akademik Veri Yönetim Sistemi
Dora, Bursa, 2022
ÖNSÖZ
Matematiğim üç temel konusu var aslında: önermeler, kümeler ve fonksiyonlar. Bu üç temel kavramdan birinde var olan bazı eksiklikler ya da yanlışlıklar matematikten uzaklaşmaya, ondan çekinmeye ve ondan korkmaya neden olur. Bu kitaptaki temel hedefimiz bu üç temel konuyu okuyucuya daha rahat kavratabilmek. Bu maksatla konular birbiri üzerine eklenerek, anlatılmayan konu ya da kavramları kullanmamaya özen göstererek kitabın bölümlerini oluşturmaya çalıştık. Her ne kadar kusursuz olması için gayret sarf etmiş ve yazdıklarımızı defalarca okumuş isek de mutlaka bazı hatalarımız olacaktır. Gördüğünüz hataları bildirdiğinizde memnunluk duyacağımızı ifade etmek isterim.
Soyut matematik konuları bu kitapla sınırlı değil elbette. Bu baskıya yetiştiremediğimiz, ileriki baskılarda eklemeyi düşündüğümüz konular mevcut. Fakat bu hâliyle de Soyut Matematik dersleri için yeterli olacağı kanaatindeyim. Bu kitapta sadece temel konulara değinildi. Bilhassa önermeler üzerinde çok duruldu. Önerme matematiğin olmazsa olmazlarından en başta geleni. Hangi teoremin ispatını önerme kullanmadan yapabiliriz ki? Bir önermenin doğru ya da yanlış olduğunu gösterme, üzerinde önemle durduğumuz bir başka konu. Ne yazık ki lisans öğretiminin son sınıfına gelmiş bazı öğrencilerimizin ve hatta bazı lise öğretmenlerimizin teorem ispatlarını örnekle yapmaya çalıştıklarına sık sık şahit oluyoruz. Bu kısımda bu tür hataların giderilmesini hedefledik.
Önermeleri, kümeleri ve fonksiyonları iyi bilen biri matematiğin her alanındaki problemler üzerinde çalışmaya başlayabilir. Bu konularla, matematiğin kendine has lisanı, sembolleriyle birlikte, öğrenilmiş olur. Kısacası bu kitabımızın hedefi matematiğin üç temel kavramı olan önermeler, kümeler ve fonksiyonlar hakkında gerekli bilgileri vermek ve matematik lisanını okuyucusuna kazandırabilmektir. Kitabın ikinci hedefi ise teorik yolla doğal sayıların matematik açısından inşasını yapabilmek. Bunun literatürde iki farklı yolu mevcut ve bu kitapta iki yolu anlaşılır bir biçimde vermeye çalıştık.
Kitap yazmak ve onu yayınlamak oldukça zor. Yazarın uzun yıllar boyunca edindiği bilgi birikimi ile kaleme aldığı bir bilimsel kitabın oluşumundaki aşamalar oldukça fazla. Ama bilimsel kitabın okuyucu kitlesi ne yazık ki tam tersine oldukça az. Kitabı alması gerekenlerin pek çoğu da kitap yerine fotokopisini çektirmeyi tercih ediyor. Aslında yasalar gereği bu bir suç olmasına rağmen, ne yazık ki ülkemizde yasalara bu konuda uyanların çok olduğunu söyleyemeyeceğim. Ama aslında bu yapılan bir hırsızlık. Yazarın yıllarını vererek hazırladığı kitabın aslı olmasa fotokopici ne çekecek? Fotokopici baskı, dizgi, kapak, cilt, toner v.b. gibi işleriyle uğraştı mı? Yazarın yıllarını vererek hazırladığı ve yayınevinin pek çok çalışanının üzerinde aylarca durduğu bir eser ortaya çıktıktan sonra, fotokopiciye düşen sadece A4 kâğıdı ve toner masrafı. Türkçe kitapların sayısında artış olması isteniyorsa, kitap fiyatlarının düşmesi isteniyorsa bunun için yapılması gereken kitap baskı adetlerinin artmasını sağlamaktır. Baskı adedi arttıkça kitabın okuyucusuna maliyeti azalmaktadır.
Son olarak kitabın bu özenli basımını gerçekleştiren Dora yayınevi çalışanlarına en içten teşekkürlerimi sunmayı bir görev olarak görmekteyim.
Kitabın tüm okuyucularına faydalı olması dileklerimle.
İÇİNDEKİLER
1. BÖLÜM
ÖNERMELER
1. ÖNERMELER. 3
1.1. ÖNERME NEDİR? 3
1.1.1. Önermelerin Doğruluk Tabloları 10
1.1.2. Önermeler Üzerinde İşlemler. 12
1.1.2.1. Değil Alma İşlemi (~). 12
1.1.2.2. Ve İşlemi (∧). 13
1.1.2.3. Veya İşlemi (∨). 17
1.1.2.4. İse İşlemi (⇒). 19
1.1.2.5. Ancak ve Ancak İşlemi (⇔). 23
1.1.3. Denk Önermeler. 26
1.2. AÇIK ÖNERMELER. 39
1.3. İSPAT YÖNTEMLERİ. 41
1.3.1. Bir Önermenin Doğru Olduğunun Gösterilmesi. 42
1.3.1.1. Doğrudan İspat. 42
1.3.1.2. Dolaylı İspat. 45
1.3.1.2.1. Olmayana Ergi Yöntemi. 45
1.3.1.2.2. Çelişki Bulma Yöntemi (reductio ad absurdum). 48
1.3.1.3. Tümevarım İspat Yöntemi. 50
1.3.2. Bir Önermenin Yanlış Olduğunun Gösterilmesi. 53
1.3.2.1. Aksine Örnek Bulma Yöntemi. 53
1.3.2.2. Çelişme Bulma Yöntemi. 53
1.4. ALIŞTIRMALAR. 55
1.5. ÇÖZÜMLÜ ALIŞTIRMALAR. 56
1.6. KISMEN ÇÖZÜMLÜ SORULAR. 60
1.7. ÖNERMELER ve ELEKTRİK DEVRELERİ 64
1.7.1. Değil Anahtarı. 67
1.7.2. Seri Bağlama. 67
1.7.3. Paralel Bağlama. 69
1.8. ALIŞTIRMALAR. 75
2. BÖLÜM
KÜME KAVRAMINA GİRİŞ
2. KÜME KAVRAMINA GİRİŞ 79
2.1. KÜME GÖSTERME YÖNTEMLERİ. 86
2.1.1. Liste Yöntemi. 87
2.1.2. Ortak Özellik Yöntemi. 89
2.1.2.1. Ortak Olan Özelliği Bir Önerme Olarak
İfade Etme Yöntemi. 89
2.1.2.2. Sıraya Koyma Yöntemi. 93
2.1.3. Venn Diyagramı (Şeması) Yöntemi. 94
2.2. SAYI KÜMELERİ. 95
2.2.1. Sayma Sayıları Kümesi. 96
2.2.2. Doğal Sayılar Kümesi. 96
2.2.3. Tam Sayılar Kümesi. 96
2.2.4. Rasyonel Sayılar Kümesi. 97
2.2.5. İrrasyonel Sayılar Kümesi. 98
2.2.6. Reel Sayılar Kümesi. 99
2.2.7. Aralıklar. 100
2.2.7.1. Sonlu Aralıklar. 100
2.2.7.2. Sonsuz aralıklar. 100
2.3. BAZI ÖZEL KÜMELER. 101
2.3.1. Evrensel Küme. 101
2.3.2. Bir Kümenin Tümleyeni. 102
2.4. ALIŞTIRMALAR. 104
3. BÖLÜM
NİCELEME MANTIĞI
3. NİCELEME MANTIĞI 107
3.1. Bir açık önermenin doğruluk kümesi. 107
3.2. Evrensel (Tümel) niceleyici (∀) 111
3.3. Varlıksal (Tikel) Niceleyici (∃) 113
3.4. Alıştırmalar. 120
4. BÖLÜM
KÜMELER ÜZERİNDE BAZI KAVRAM VE ÖZELLİKLER
4. KÜMELER ÜZERİNDE BAZI KAVRAM VE ÖZELLİKLER. 125
4.1. ALTKÜME VE EVRENSEL KÜME. 125
4.2. KÜME İŞLEMLERİ 135
4.2.1. Birleşim ve Kesişim İşlemleri 136
4.2.2. Venn Şemaları Yardımı ile Birleşim ve Arakesit Bulma 137
4.2.3. Küme İşlemlerinin Özellikleri. 140
4.2.4. A Kümesinin B Kümesine Göre Tümleyeni. 147
4.2.5. Fark ve Simetrik Fark İşlemleri. 148
4.2.6. Üyelik Tablosu. 152
4.2.7. Çözümlü Alıştırmalar. 154
4.2.8. Küme Ailesi. 155
4.2.9. Bir Kümenin Parçalanışı. 163
4.3. ALIŞTIRMALAR 164
5. BÖLÜM
GRAFİK, BAĞINTI VE FONKSİYON
5.1. SIRALI İKİLİ VE KÜMELERİN KARTEZYEN ÇARPIMI 171
5.2. GRAFİK. 179
5.3. BAĞINTI. 181
5.4. BİR GRAFİĞİN VE BAĞINTININ TERSİ. 188
5.5. GRAFİKLERİN VE BAĞINTILARIN BİLEŞKESİ 191
5.6. FONKSİYONEL BAĞINTI VE FONKSİYON 198
5.7. FONKSİYONLARIN BİLEŞKESİ. 205
5.8. ÖNEMLİ İKİ FONKSİYON TÜRÜ: BİREBİR FONKSİYONLAR
VE ÖRTEN FONKSİYONLAR. 209
5.9. BİR FONKSİYONUN TERSİ VE TERS FONKSİYON. 222
5.10. BİR FONKSİYON ALTINDA GÖRÜNTÜ VE TERS
GÖRÜNTÜ ÖZELLİKLERİ. 232
5.11. TANIM KÜMESİ BULMA. 239
5.12. BAZI ÖZEL FONKSİYONLAR VE BUNLARIN TANIM KÜMELERİ. 242
5.12.1. Polinom Fonksiyonları. 242
5.12.2. Köklü Fonksiyonlar. 243
5.12.3. Rasyonel (Kesirli) Fonksiyonlar. 243
5.13. FONKSİYONLARLA YAPILAN İŞLEMLER. 244
5.14. KISITLAMA VE GENİŞLETME 245
5.15. PARÇALI FONKSİYONLAR. 247
5.16. PERMÜTASYONLAR. 251
5.17. BAĞINTI VE FONKSİYONLARLA İLGİLİ SAYISAL ÖZELLİKLER. 254
5.18. ALIŞTIRMALAR. 255
6. BÖLÜM
AKSİYOM SİSTEMLERİ VE MATEMATİK
6.1. AKSİYOM SİSTEMLERİ 263
6.1.1. Matematikte Tanımsız Terimler ve Aksiyomlar. 264
6.1.2. Aksiyomlar İçin Bazı Temel Kavramlar 264
6.2. AKSİYOMLAR VE MATEMATİK 272
6.3. ALIŞTIRMALAR. 275
7. BÖLÜM
BAĞINTI ÇEŞİTLERİ
7. BAĞINTI ÇEŞİTLERİ 279
7.1. YANSIYAN BAĞINTILAR. 280
7.2. SİMETRİK BAĞINTILAR. 282
7.3. TERS SİMETRİK BAĞINTILAR. 285
7.4. GEÇİŞLİ BAĞINTI. 287
7.5. SİMETRİSİZ BAĞINTI 291
7.6. ALIŞTIRMALAR 293
8. BÖLÜM
DENKLİK BAĞINTILARI
8. DENKLİK BAĞINTILARI 297
8.1. TANIM VE GENEL ÖZELLİKLER. 297
8.2. DENKLİK SINIFLARI VE BÖLÜM KÜMESİ. 303
8.3. ALIŞTIRMALAR. 320
9. BÖLÜM
EŞGÜÇLÜ KÜMELER
9. EŞGÜÇLÜ KÜMELER 325
9.1. TANIM VE GENEL ÖZELLİKLER. 325
9.2. REEL SAYI ARALIKLARININ EŞGÜÇLÜLÜĞÜ. 338
9.3. ALIŞTIRMALAR. 358
10. BÖLÜM
KARDİNAL SAYILAR
10. KARDİNAL SAYILAR 363
10.1. TEMEL TANIM VE ÖZELLİKLERİ 363
10.2. KARDİNAL SAYILARLA İŞLEMLER 369
10.2.1 Çarpma işlemi. 370
10.2.2. Toplama İşlemi 374
10.2.3. Kardinal Sayılarda Kuvvet Hesaplama 385
10.2.4.Kardinal Sayılarda Çıkarma ve Bölme İşlemleri. 390
10.3. ALIŞTIRMALAR. 395
11. BÖLÜM
DOĞAL SAYILARIN KARDİNAL SAYILAR YARDIMIYLA İNŞASI, TÜMEVARIM VE SAYILABİLİR KÜMELER
11. DOĞAL SAYILARIN KARDİNAL SAYILAR YARDIMIYLA İNŞASI,
TÜMEVARIM VE SAYILABİLİR KÜMELER. 399
11.1. SONLU VE SONSUZ KÜMELERİN GENEL ÖZELLİKLERİ. 399
11.2. DOĞAL SAYILAR VE DOĞAL SAYILAR KÜMESİ 401
11.3. TÜMEVARIM İSPAT YÖNTEMİ. 411
11.4. BAZI SAYISAL ÖZELLİKLER. 416
11.5. SAYILABİLİR KÜMELER. 426
11.6. ALIŞTIRMALAR 437
12. BÖLÜM
PEANO AKSİYOMLARI VE DOĞAL SAYILAR KÜMESİ
12. PEANO AKSİYOMLARI VE DOĞAL SAYILAR KÜMESİ 443
12.1. PEANO AKSİYOMLARI YARDIMIYLA DOĞAL SAYILAR
KÜMESİNİN İNŞASI VE GENEL ÖZELLİKLER 443
12.2. PEANO AKSİYOMLARI YARDIMIYLA İNŞA EDİLEN
DOĞAL SAYILAR KÜMESİ ÜZERİNDE İŞLEMLER. 447
12.3. ALIŞTIRMALAR 453
13. BÖLÜM
SIRALAMA BAĞINTILARI
13. SIRALAMA BAĞINTILARI 457
13.1. GENEL ÖZELLİKLER 457
13.2. İZOMORF SIRALI KÜMELER 476
13.3. ALIŞTIRMALAR 483
KAYNAKLAR 486
İNDEKS 487