Bir Kuadratik Jordan Cebiri ile Tanımlanan Octonion Düzlemlerde 4-Geçişkenliğin Kurulması ve 6-Şekiller ile Çifte-Oranın Bazı Özelliklerinin İncelenmesi

TÜBİTAK Projesi, 2017 - 2019

Proje Türü: TÜBİTAK Projesi
Başlama Tarihi: Ekim 2017
Bitiş Tarihi: Ağustos 2019

Proje Özeti

Geometride, cebirden güçlü bir şekilde yararlanmak için bir geometrik yapının koordinatlanmasında koordinatlama halkası olarak isimlendirilen bir cebirsel yapı seçilir. Projektif geometrinin en önemli problemlerinden biri, ele alınan düzlemin geometrik özellikleri ile karşılık gelen koordinatlama halkasının cebirsel özellikleri arasında var olan ilişkileri ortaya çıkarmaktır. Mesela; çalıştığımız projektif düzlemin bir Pappus düzlemi, Dezarg düzlemi, Moufang düzlemi ya da Moufang-Klingenberg düzlemi olması için gerek ve yeter şart koordinatlama halkasının, sırası ile, bir cisim, bir bölümlü halka (aykırı cisim), bir alterne cisim (alterne bölümlü halka) ya da bir lokal alterne halka olmasıdır. Bir koordinatlama halkasına sahip bir geometrik yapıda koordinatlama halkasının cebirsel özellikleri ile geometrik yapının geometrik özellikleri arasındaki ilişkilerin incelenmesiyle iki yönlü kazanç elde edilir. Çünkü, bir geometrik özelliğin hangi cebirsel özelliğe karşılık geldiğini bulmak demek karşılık gelen koordinatlama halkası hakkında yeni bir bilgiye ulaşmak demektir. Tersine, bir cebirsel özelliğin hangi geometrik özelliğe karşılık geldiğini belirlemek demek bu geometrik yapı hakkında bir geometrik özelliği elde etmek anlamına gelir.

Bu çalışmada, R; birimli, değişmeli ve birleşmeli bir lokal halka olmak üzere girdileri bir octonion R-cebirden alınarak oluşturulan 3x3 matris uzayının bir kanonik involusyon altında simetrik kalan elamanlarının oluşturduğu özel bir alt kümesi(uzayı) üzerinde iz form olarak bir matrisin izi ve norm form olarak bir matrisin determinantı seçilerek oluşturulan kuadratik (exceptional) Jordan cebiri yardımıyla tanımlanan bir octonion düzlem sınıfı ele alınacaktır.

Bu düzlem sınıfı üzerinde norm yarı-benzerliği yardımıyla elde edilen kolinasyonlar kullanılarak 4-geçişkenlik kurulmuş olmasına rağmen biz norm yarı-benzerliği ile elde edilen kolinasyonlar yerine somut olarak tanımlanan, düzlemin tüm nokta ve doğrularına etkisi açık olarak verilen ve projektif düzlemler için iyi bilinen bazı kolinasyonların bu düzlemlerdeki karşılıklarını kullanarak 4-geçişkenliği yeniden tesis edeceğiz. Bu 4-geçişkenliği kurduğumuz kolinasyonlar yardımı ile çalışacağımız düzlem sınıfı üzerinde ele alınacak bir 6-şekilin düzleme karşılık gelen cebirsel yapıda tersi mevcut bir tek eleman ile temsil edilebileceğini göstereceğiz. Daha sonra, 6-şekillerin geometrik özellikleri ile bunlara karşılık gelen cebirsel özelliklerin neler olacağını inceleyeceğiz. Mesela, bir 6-şekilin Menelaus ve Ceva 6-şekil olması tanımını yapıp bu geometrik özelliklerin cebirsel karşılığı olarak 6-şekilin oranının ne olması gerektiğini araştıracağız. Aynı zamanda ikişer ikişer irtibatlı olmayan doğrudaş dört noktanın çifte oranı ile 6-şekilin geometrik özellikleri arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz. Örneğin, ikişer ikişer irtibatlı olmayan doğrudaş dört noktanın hangi cebirsel bir değeri bu dört noktanın harmonik pozisyonda olmasına karşılık geldiğini araştıracağız.

Jordan cebirlerinin birçok alandaki uygulamaları bilhassa da fizikteki uygulamaları dikkate alındığında bu düzlem sınıfı üzerinde elde edilecek yeni geometrik özelliklerin bu cebirler hakkında yeni bilgiler ortaya koyacağı ve dolayısıyla bilime orijinal katkı sağlayacağı beklenmektedir.